Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situación será:

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple:

V_n  =  c  +  c  x  (1  +  i)  +  c  x  (1  +  2i)  +  c  x  (1  +  3i)  +  ...  +  c  x  [1  +  (n  -  1)  i]

Simplificando:

V_n  =  c  x  [(1  +  ...  +  1)  +  (i  +  2i  +  3i  +  ...  +  (n  -  1))  i]

Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n-1 términos en progresión aritmética (semisuma de los extremos multiplicando por el número de términos), por tanto:

Resultando finalmente:

En el caso de una renta prepagable, manteniéndose sin cambios las demás características:

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple:

V_n  =  c  x  (1  +  i)  +  c  x  (1  +  2i)  +  c  x  (1  +  3i)  +  ...  +  c  x  (1  +  ni)

Simplificando:

V_n  =  c  x  [(1  +  ...  +  1)  +  (i  +  2i  +  3i  +  ...  +  ni)]

Siendo el primer paréntesis n y el segundo la suma de n términos en progresión aritmética i  +  ni/2  x  n, resulta:

Finalmente:

A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores finales de los n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio.

En efecto, para el caso de n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por:

Operando en el numerador:

Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

Resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería:

Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno: