Si seguimos la renta del caso anterior, pero introduciendo un único cambio consistente en que los capitales se sitúan al principio de cada subperíodo, la situación queda así:

resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), prepagable, inmediata y entera (al tanto i_k):

El valor actual se calcula actualizando a un tanto i_k todos los capitales:

Finalmente:

Para el caso de renta perpetua:

El valor final se calculará, a partir de los términos de la renta, uno a uno hasta el final de la renta al tanto i_k:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

V_{n x k}  =  (1  +  i)ⁿ  x  Ä_{n x k}×_ik  =  (1  +  i_k)^{n x k}  x  Ä_{n x k}×_ik

5.1.2.  Método del factor de transformación

En este caso se trata de emplear los datos del problema y la información complementaria que se suministraría. En principio, lo normal será contar con tablas de valores actuales unitarios (a_n×_i) , y de tantos nominales [J_k (i)], referidos al tanto i del supuesto.

Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del período). La representación gráfica será:

Para el cálculo del valor actual partimos de la expresión empleada anteriormente con el método del tanto equivalente:

Pero ahora, en lugar de utilizar el tanto i_k y trabajar con una renta de n  x  k términos, vamos a tener en cuenta las siguientes expresiones:

• La relación de tantos equivalentes en compuesta:

(1  +  i)  =  (1 + i_k)^k


que generalizando para n períodos y elevando ambos miembros a (–1), queda:

(1  +  i)^–n  =  (1  +  i_k)^{–n x k}


• El tanto nominal equivalente al tipo efectivo i:

J_k (i)

que nos permite conocer i_k a partir del nominal:

sustituyendo estos cambios en el valor actual de partida queda:

Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por i:

simplificando, queda:

siendo el cociente:

el denominado factor de transformación.

Al mismo resultado se hubiera llegado si sustituimos los k términos de un período por un único capital equivalente expresado en la unidad del tanto i y repitiendo esa operación para el resto de períodos se habrá convertido la renta en entera (tanto de valoración y términos de la renta en la misma unidad de tiempo –en la unidad del tipo de interés de partida–). Este capital equivalente puede tomarse al final del período (pospagable) o al principio (prepagable), sin que eso afecte al resultado final.

Así, si el capital equivalente se considera pospagable, será el valor final de la renta formada por los k términos fraccionados constantes llevados al final de período:

Una vez calculado X, se trataría de actualizar una renta constante, de n términos de cuantía X, pospagable y entera.

Para el caso de renta perpetua:

El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al tanto i_k:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

V_n  =  (1  +  i)ⁿ  x A^(k)_n×_i

Para rentas prepagables:

 

.:: Ejemplo 14 ::. Se trata de resolver el ejemplo anterior a través del factor de transformación, por tanto, se pide el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables. Contamos con la siguiente información adicional: J4 (0,07)  =  0,0682341 a5×0,07   =  4,1001974