Manual de Matemáticas Financieras
José Tovar Jiménez   
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Capítulos
1.- Prologo
2.- Capitalización Simple
3.- Capitalización Compuesta
4.- Rentas
 Rentas 
 Rentas Constantes I
 Rentas Constantes II
 Rentas Constantes III
 Rentas Constantes IV
 Rentas Variables en Progresión Geométrica I
 Rentas Variables en Progresión Geométrica II
 Rentas Variables en Progresión Geométrica III
 Rentas Variables en Progresión Aritmética
 Rentas Fraccionadas I
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 Rentas Continuas II
 Rentas a Interés simple I
 Rentas a Interés simple II
5.- Préstamos
6.- Empréstitos
7.- Valores Mobiliarios
Rentas

Rentas Continuas I
Por José Tovar Jiménez

6.  RENTAS CONTINUAS

Será una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí por pe­ríodos infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentas fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada período.

En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del término sea superior a 12.

6.1.  RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y CONTINUA

Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que viene expresado el tanto, y subdividiendo los períodos en infinitos subperíodos.

Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (an× i), el desarrollo es el siguiente:

por otra parte:

aplicando la regla de L'Hopital:

el resultado final es:

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Iguales resultados se obtendrían si la renta se considera prepagable, puesto que al ser infinitesimal el subperíodo no hay diferencias entre el inicio y el final del mismo.

El cálculo del valor final se obtendría capitalizando el valor actual:

Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual de estas rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de la renta tiende a infinito.

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Conclusión: las rentas continuas, a efectos de cálculo, se pueden considerar como una renta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudiéndose aplicar todas las fórmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i).

 

.:: Ejemplo 18 ::.

Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por una empresa sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, siendo el tanto de valoración el 10% efectivo anual. Considérese año comercial.

Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata en principio de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.

No obstante, se podría haber resuelto como cualquier otra renta, a través del tanto equivalente, en este caso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida.

i360  =  (1  +  0,12)1/360  –  1  =  0,0002647855

A1.8000,0002647855  =  100  x  a1.8000,0002647855  =  137.389,60

S1.8000,0002647855  =  100  x  s1.8000,0002647855  =

=  1,125  x  A1.8000,0002647855  =  242.127,42

Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido en cuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan implícitas.

Rentas
Rentas Continuas II

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