6. RENTAS CONTINUAS
Será una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí
por períodos infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas
se pueden entender como rentas fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a
ser infinito dentro de cada período.
En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia
de fraccionamiento del término sea superior a 12.
6.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y CONTINUA
Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que viene expresado el tanto, y subdividiendo los períodos en infinitos subperíodos.
Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (an× i), el desarrollo es el siguiente:
por otra parte:
aplicando la regla de L'Hopital:
el resultado final es:
Cuando la renta es constante de cuantía c:
Iguales resultados se obtendrían si la renta se considera prepagable,
puesto que al ser infinitesimal el subperíodo no hay diferencias entre
el inicio y el final del mismo.
El cálculo del valor final se obtendría capitalizando el valor actual:
Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual de estas rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de la renta tiende a infinito.
Cuando la renta es constante de cuantía c:
| Conclusión: las rentas continuas, a efectos de cálculo, se pueden considerar como una renta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudiéndose aplicar todas las fórmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i). |
| .:: Ejemplo 18 ::. Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por una empresa sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, siendo el tanto de valoración el 10% efectivo anual. Considérese año comercial.
Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata en principio de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.
No obstante, se podría haber resuelto como cualquier otra renta, a través del tanto equivalente, en este caso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida.
i360 = (1 + 0,12)1/360 – 1 = 0,0002647855
A1.800 0,0002647855 = 100 x a1.8000,0002647855 = 137.389,60
S1.8000,0002647855 = 100 x s1.8000,0002647855 =
= 1,125 x A1.8000,0002647855 = 242.127,42
Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido en cuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan implícitas.
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