Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal –n ­capitales–, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedando gráficamente así:

Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminología s_n×_i siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:

V_n  =  s_n×_i  =  1  +  (1  +  i)  +  (1  +  i)²  +  …  +  (1  +  i)^n–1

Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón r  =  1  +  i, que se puede calcular con la siguiente expresión:

donde a₁ es el primer término de la progresión, a_n es el último término y r es la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoración:

por tanto el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual.

Comprobación:

En el supuesto de ser los términos de cuantía c,  el valor final (S_n×_i) se calculará así:

V_n  =  S_n×_i  =  c  +  c  x  ???????"????
;(1  +  i)  +  c  x  (1  +  i)²  +  …  +  c  x  (1  +  i)^n–1

Simplificando, tomando factor común el término c:

V_n  =  S_n×_i  =  c  x  [1  +  (1  +  i)  +  (1  +  i)²  +  …  +  (1  +  i)^n–1]

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n términos, pospagable, inmediata y entera, s_n×_i:

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

.:: Ejemplo 3 ::. Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual. Desplazando los capitales uno a uno: V3  =  100  x  (1  +  0,1)2  +  100  x  (1  +  0,1)  +  100  =  331 € Utilizando la renta: Capitalizando el valor actual: V3  =  248,69  x  (1  +  0,1)3  =  331 €

 

.:: Ejemplo 5 ::. Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual. En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones. y mediante logaritmos se despeja la incógnita n: