Se desconoce el momento en que resultará amortizado el título estudiado, por ello se toma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en la fecha donde se valora.

Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta el momento del sorteo (k  +  V_m):

Se procederá de igual forma que en el caso anterior, pero tomando como horizonte temporal la vida media del empréstito.

 Caso 3: considerando valores medios

En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando como horizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente el título objeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja con el conjunto de títulos vivos en la fecha de estudio del empréstito, para, después, estimar el valor medio de cada uno de ellos.

El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso aplicados para el conjunto del empréstito (valores totales o globales):

Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha de estudio (N_k+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad y valor:

No obstante, este proceso de cálculo exige conocer los títulos amortizados en cada momento desde la fecha de estudio hasta el final del empréstito y las cantidades a pagar a cada uno de ellos en concepto de amortización y cupón acumulado.

Un sistema alternativo sería el siguiente:

• En primer lugar se calcula el valor medio de un título:

• A continuación se calcula la nuda propiedad, con la siguiente expresión:

• Finalmente, se despeja el usufructo:

U_k  =  V_k  –  N_k

.:: Ejemplo 32::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 10.000. • Nominal título: 1.000 euros. • Cupón del 10% anual acumulable al momento del sorteo. • Duración: 3 años. • Anualidad comercial constante. Se pide: • Cuadro de amortización. • Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12% efectivo anual. Solución: Cuadro de amortización Año Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Intereses Amortización Término amortiz. 1 2 3 10.000 6.344 3.021 3.656 3.323 3.021 3.656 6.979 10.000 365.600 697.830 999.951 3.656.000 3.323.000 3.021.000 4.021.600 4.020.830 4.020.951 Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto  im = 12% 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones 2.ª posibilidad: calculando el valor medio y a continuación la nuda propiedad con las expresiones abreviadas Finalmente se despeja el usufructo: U0  =  V0  –  N0  =  159,45