Caso 2: tomando como estimación la vida media del empréstito en la fecha de estudio
Ahora desconocemos el momento en que resultará amortizado el título estudiado, por ello se toma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en la fecha donde estamos valorando.
Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio
(k) hasta el momento del sorteo (k + Vm):
Aplicando de nuevo las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor:
Caso 3: considerando valores medios
En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando
como horizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente
el título objeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja
con el conjunto de títulos vivos en la fecha de estudio del empréstito,
para, después, estimar el valor medio de cada uno de ellos.
El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:
Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso
aplicados para el conjunto del empréstito (valores totales o globales):
Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha de estudio (Nk+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad y valor:
No obstante, este método de cálculo exige conocer las cantidades
destinadas al pago de cupones y de amortización en cada momento desde la
fecha de estudio hasta el final del empréstito (cuadro de amortización).
Un sistema alternativo sería la utilización del siguiente sistema
de ecuaciones, que solamente se podrá emplear en el supuesto de que se
cumplan los tres siguientes requisitos:
1.º El cupón periódico se mantiene constante desde la fecha de estudio hasta n.
2.º El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del cupón
(i).
3.º Encontrarse al final de un período.
Donde:
i: Tipo del cupón del título.
im: Tipo de mercado.
c: Nominal del título.
Para su resolución se calculará previamente el Vk, según
la expresión:
y del sistema se despejarán Uk y Nk.
| Nota: este sistema de ecuaciones también se puede aplicar a cualquier empréstito de cupón periódico con anualidad variable (clase I, tipo II). |
| .:: Ejemplo 26::.
Se emite el siguiente empréstito:
• Títulos emitidos: 30.000.
• Nominal título: 1.000 euros.
• Cupón anual: 100 euros.
• Duración: 3 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
• Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12%.
Solución:
Cuadro de amortización
| Años |
Títulos
vivos |
Títulos
amortiz. |
Total
tít. amort. |
Intereses |
Amortización |
Término
amortizativo |
| 1
2
3 |
30.000
20.937
10.967 |
9.063
9.970
10.967 |
9.063
19.033
30.000 |
3.000.000
2.093.700
1.096.700 |
9.063.000
9.970.000
10.967.000 |
12.063.000
12.063.700
12.063.700 |
Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12%:
1.ª posibilidad: aplicando las definiciones
2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones
Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene V0:
Del sistema se despeja la nuda propiedad y a continuación el usufructo:
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