Sin embargo, el obligacionista se plantea la necesidad de estimar la duración de los títulos que adquiere y la rentabilidad que le supondrán.

El estudio de la probabilidad en los empréstitos tiene razón de ser al considerar esta operación desde el punto de vista del obligacionista, el cual, cuando adquiere títulos desea conocer la rentabilidad de la inversión efectuada. Ahora bien, la rentabilidad efectiva implica conocer no sólo el importe económico de los derechos futuros (cupones, valor de reembolso y posibles lotes) sino del número de ellos, que, a su vez, dependerá del momento en el que el título resultará amortizado.

Dado que la amortización de los títulos se realiza por sorteo un obligacionista no sabrá con certeza cuándo su título resultará retirado de la circulación. Es preciso estimar la probabilidad de que el título esté vivo (en circulación) más o menos tiempo.

Definimos el concepto de probabilidad como el resultado de dividir el número de casos favorables de que ocurra un determinado fenómeno concreto (en este caso, amortización de un título) entre el número de casos posibles en una fecha de estudio concreta.

El estudio de probabilidad supone conocer las características del empréstito y en qué momento nos encontramos desde la emisión del mismo. Así, por ejemplo, para un empréstito de N₁ emitidos, con una duración de n períodos, realizándose sorteos periódicos en los que se amortizan M₁, M₂, …, M_n, respectivamente, si quisiéramos hacer un estudio de probabilidad en el momento k desde el origen, gráficamente sería:

 Las probabilidades objeto de estudio más frecuentes son las siguientes:

a) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado en el momento t:

b) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 continúe en circulación  en el momento t:

c) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado en cualquier sorteo hasta el momento t (incluido):

A partir del concepto de probabilidad, se puede estimar el tiempo que puede estar en circulación un título adquirido en cualquier momento de tiempo (vida del título), pudiéndose utilizar diferentes promedios entre los que destacamos los siguientes:

a) Vida media.

b) Vida mediana.

c) Vida matemática o financiera.

9.1.  Vida media o esperada de un título (V_m)

Se define la vida media de un título como el tiempo que por término medio está en circulación ese título desde la fecha de estudio. Se trata del concepto de esperanza matemática de una variable (número de años en circulación), puesto que la variable es de tipo aleatorio (no se conoce el momento en que el título resultará amortizado).

En definitiva, la vida media resulta de multiplicar el número de años que un título puede estar en circulación, desde la fecha de estudio, por la probabilidad de que así ocurra:

Cuadro de trabajo si el estudio se realiza en el momento k:

Haciendo el estudio en el momento K, desde la emisión del empréstito, resulta:

De forma reducida:

Si el estudio se hace en el origen (k  =  0):

Expresiones válidas para cualquier empréstito, que tienen como principal inconveniente la necesidad de conocer el número de títulos en circulación  en la fecha de estudio (N_k+1) así como el número de títulos a amortizar desde esa fecha hasta el final del empréstito (M_r).

No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico, constante y vencido (clase I, tipo I) se puede emplear la siguiente expresión simplificada (véase demostración en el anexo I al final del capítulo):

donde:

i Tanto del cupón del empréstito.

n Número de sorteos del empréstito.

método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar la fórmula en cualquier momento k, bastará con sustituir n (número de sorteos pendientes) por n–k (número de sorteos pendientes desde la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuviera características comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá siendo válida pero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando:

siendo:

i': Tanto normalizado del empréstito.

n – k: Número de sorteos pendientes del empréstito.

.:: Ejemplo 23::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 20.000. • Nominal título: 1.000 euros. • Cupón anual: 50 euros. • Duración: 4 años. • Prima amortización: 200 euros. • Anualidad constante. Se pide: • Cuadro de amortización. • Vida media en el origen. • Vida media en el momento 1. Solución: Planteando la equivalencia en el origen para calcular la anualidad: c  x  N1  =  a'  x  ani' 1.000  x  20.000  =  a'  x  a40,04166 a'  =  5.531.459,04 como: se podrá despejar la anualidad teórica: a  =  6.637.750,85 Cuadro de amortización Años Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Intereses Amortización Anualidad práctica 1 2 3 4 20.000 15.302 10.408 5.310 4.698 4.894 5.098 5.310 4.698 9.592 14.698 20.000 1.000.000 765.100 520.400 265.500 5.637.600 5.872.800 6.117.600 6.372.000 6.637.600 6.637.900 6.638.000 6.637.500 Vida media en el origen Otra posibilidad: Vida media en el momento 1 Otra posibilidad: