Hasta ahora se han estudiado los empréstitos enfocados desde el punto de vista del emisor, considerando la operación como un todo, centrándonos en la construcción de los cuadros de amortización.
Sin embargo, el obligacionista se plantea la necesidad de estimar la duración
de los títulos que adquiere y la rentabilidad que le supondrán.
El estudio de la probabilidad en los empréstitos tiene razón de
ser al considerar esta operación desde el punto de vista del obligacionista,
el cual, cuando adquiere títulos desea conocer la rentabilidad de la inversión
efectuada. Ahora bien, la rentabilidad efectiva implica conocer no sólo
el importe económico de los derechos futuros (cupones, valor de reembolso
y posibles lotes) sino del número de ellos, que, a su vez, dependerá
del momento en el que el título resultará amortizado.
Dado que la amortización de los títulos se realiza por sorteo un
obligacionista no sabrá con certeza cuándo su título resultará
retirado de la circulación. Es preciso estimar la probabilidad de que el
título esté vivo (en circulación) más o menos tiempo.
Definimos el concepto de probabilidad como el resultado de dividir el número
de casos favorables de que ocurra un determinado fenómeno concreto (en
este caso, amortización de un título) entre el número de
casos posibles en una fecha de estudio concreta.
El estudio de probabilidad supone conocer las características del empréstito
y en qué momento nos encontramos desde la emisión del mismo. Así,
por ejemplo, para un empréstito de N1 emitidos, con una duración
de n períodos, realizándose sorteos periódicos en los que
se amortizan M1, M2, …, Mn,
respectivamente, si quisiéramos hacer un estudio de probabilidad en el
momento k desde el origen, gráficamente sería:
Las probabilidades objeto de estudio más frecuentes son las siguientes:
a) Probabilidad de que un título en circulación a principios de
k+1 resulte amortizado en el momento t:
b) Probabilidad de que un título en circulación a principios de
k+1 continúe en circulación en el momento t:
c) Probabilidad de que un título en circulación a principios de
k+1 resulte amortizado en cualquier sorteo hasta el momento t (incluido):
A partir del concepto de probabilidad, se puede estimar el tiempo que puede estar
en circulación un título adquirido en cualquier momento de tiempo
(vida del título), pudiéndose utilizar diferentes promedios entre
los que destacamos los siguientes:
a) Vida media.
b) Vida mediana.
c) Vida matemática o financiera.
9.1. Vida media o esperada de un título (Vm)
Se define la vida media de un título como el tiempo que por término
medio está en circulación ese título desde la fecha de estudio.
Se trata del concepto de esperanza matemática de una variable (número
de años en circulación), puesto que la variable es de tipo aleatorio
(no se conoce el momento en que el título resultará amortizado).
En definitiva, la vida media resulta de multiplicar el número de años
que un título puede estar en circulación, desde la fecha de estudio,
por la probabilidad de que así ocurra:
Cuadro de trabajo si el estudio se realiza en el momento k:
Haciendo el estudio en el momento K, desde la emisión del empréstito, resulta:
De forma reducida:
Si el estudio se hace en el origen (k = 0):
Expresiones válidas para cualquier empréstito, que tienen como
principal inconveniente la necesidad de conocer el número de títulos
en circulación en la fecha de estudio (Nk+1) así
como el número de títulos a amortizar desde esa fecha hasta el final
del empréstito (Mr).
No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico,
constante y vencido (clase I, tipo I) se puede emplear la siguiente expresión
simplificada (véase demostración en el anexo I al final del capítulo):
donde:
i Tanto del cupón del empréstito.
n Número de sorteos del empréstito.
método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar
la fórmula en cualquier momento k, bastará con sustituir n (número
de sorteos pendientes) por n–k (número de sorteos pendientes desde
la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuviera características
comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá
siendo válida pero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando:
siendo:
i': Tanto normalizado del empréstito.
n – k: Número de sorteos pendientes del empréstito.
| .:: Ejemplo 23::.
Se emite el siguiente empréstito:
Títulos emitidos: 20.000.
Nominal título: 1.000 euros.
Cupón anual: 50 euros.
Duración: 4 años.
Prima amortización: 200 euros.
Anualidad constante.
Se pide:
Cuadro de amortización.
Vida media en el origen.
Vida media en el momento 1.
Solución:
Planteando la equivalencia en el origen para calcular la anualidad:
c x N1 = a' x an i'
1.000 x 20.000 = a' x a4 0,04166
a' = 5.531.459,04
como:
se podrá despejar la anualidad teórica:
a = 6.637.750,85
Cuadro de amortización
| Años |
Títulos
vivos |
Títulos
amortiz. |
Total
tít. amort. |
Intereses |
Amortización |
Anualidad
práctica |
| 1
2
3
4 |
20.000
15.302
10.408
5.310 |
4.698
4.894
5.098
5.310 |
4.698
9.592
14.698
20.000 |
1.000.000
765.100
520.400
265.500 |
5.637.600
5.872.800
6.117.600
6.372.000 |
6.637.600
6.637.900
6.638.000
6.637.500 |
Vida media en el origen
Otra posibilidad:
Vida media en el momento 1
Otra posibilidad:
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