• Los términos amortizativos varían en progresión aritmética, y,

• El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.

Es importante el estudio de la razón aplicada. De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además el importe de la razón es proporcional al total de los intereses pagados. Así, tenemos que a mayor razón, mayor es el importe de los intereses pagados y a la inversa. Esto se debe a que una mayor razón hace que al principio amorticemos un menor capital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de los intereses, con lo que éstos se acumularán al capital y volverán a generar in­tereses.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C₀, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión aritmética de razón conocida d, al tipo de interés i, es el siguiente:

7.1.  PASOS A SEGUIR

7.1.1.  Cálculo de los términos amortizativos (a_k)

Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.

Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuación donde la variable a despejar será el primer término amortizativo (a₁).

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresión aritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a₂  =  a₁  +  d

a₃  =  a₂  +  d  =  a₁  +  2d

…

a_k+1  =  a_k  +  d  =  a₁  +  k  x  d

…

a_n  =  a_n–1  +  d  =  a₁  +  (n  –  1)  x  d

7.1.2.  Cálculo de las cuotas de amortización (A_k)

7.1.2.1.  1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a₁  =  I₁  +  A₁  =  C₀  x  i  +  A₁, de donde se despeja A₁ (ya que lo demás se conoce)

Período 2: a₂  =  I₂  +  A₂  =  C₁  x  i  +  A₂  =  (C₀  –  A₁)  x  i  +  A₂, y despejamos A₂,

Período 3: a₃  =  I₃  +  A₃  =  C₂  x  i  +  A₃  =  (C₁  –  A₂)  x  i  +  A₃,  y despejamos A₃,

y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

7.1.2.2.  2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización

Al ser variable el término amortizativo las cuotas de amortización variarán, dependiendo de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortización consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera:

siendo: C_k–1  –  C_k  =  A_k, queda:

a_k  –  a_k+1  =  A_k  x  i  +  A_k  –  A_k+1

además, se cumple:

a_k+1  =  a_k  +  d

de donde se obtiene:

A_k+1  =  A_k  x  (1  +  i)  +  d

expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de la anterior de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del primer período, la expresión a aplicar será:

A_k+1  =  A₁  x  (1  +  i)^k  +  d  x  s_ki