• Los términos amortizativos varían en progresión geométrica, y

• El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.

De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además se pone de manifiesto que cuanto mayor es la razón de la progresión mayor es el importe de los intereses pagados a lo largo de toda la operación.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C₀, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión geométrica de razón conocida q, al tipo de interés i, es el siguiente:

6.1.  PASOS A SEGUIR

6.1.1.  Cálculo de los términos amortizativos (a_k)

Los pagos que se realizan durante la vida del préstamo incorporan la cuota de interés y la cuota de amortización. Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.

Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la pro­gresión.

Al desarrollar esta equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón de la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del préstamo:

En ambos casos la variable desconocida y que se despeja es el primer término amortizativo (a₁), que será la incógnita a calcular.

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresión geométrica, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a₂  =  a₁  x  q

a₃   =  a₂  x  q   =  a₁  x  q²

...

a_k+1  =  a_k  x  q  =  a₁  x  q^k

…

a_n   =  a_n–1  x  q  =  a₁  x  q^n–1

6.1.2.  Cálculo de las cuotas de amortización (A_k)

6.1.2.1.  1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a₁  =  I₁  +  A₁  =  C₀  x  i  +  A₁, de donde se despeja A₁ (ya que lo demás se ­conoce)

Período 2: a₂  =  I₂  +  A₂  =  C₁  x  i  +  A₂  =  (C₀  –  A₁)  x  i  +  A₂, y despejamos A_2,

Período 3: a₃  =  I₃  +  A₃  =  C₂  x  i  +  A₃  =  (C₁  –  A₂)  x  i  +  A₃, y despejamos A_3,

y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

6.1.2.2.  2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización

Al ser variable el término amortizativo, las cuotas de amortización normalmente también variarán, si bien el sentido de esta variación (creciente o decreciente) estará en función de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortización consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera:

a_k  –  a_k+1  =  A_k  x  i  +  A_k  –  A_k+1

de donde:

A_k+1  =  A_k  x  (1  +  i)  + a_k+1  –  a_k

y como: a_k+1  =  a_k  x  q, la expresión puede quedar:

A_k+1  =  A_k  x  (1  +  i)  –  a_k  x  (1  –  q)

expresión que permite calcular una cuota de amortización a partir de la cuota de amortización anterior.

Ley que puede resultar poco práctica, ya que además de conocer la cuota de amortización anterior se debe considerar el término amortizativo de aquel período, por lo que quizá sea más práctico hacer uso del primer sistema de cálculo anteriormente ­comentado.