5. Equivalencia de capitales en compuesta
Para comprobar si dos o m谩s capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o m谩s capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.
Ya vimos en las operaciones en simple la definici贸n y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo v谩lidos. La diferencia fundamental viene dada porque en r茅gimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operaci贸n, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.
5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCI脫N DE CAPITALES
La sustituci贸n de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuant铆as diferentes a las anteriores s贸lo se podr谩 llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendr谩n que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudi茅ndose plantear los siguientes casos posibles:
5.1.1. Determinaci贸n del capital com煤n
Es la cuant铆a C de un capital 煤nico que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
5.1.2. Determinaci贸n del vencimiento com煤n
Es el momento de tiempo t en que vence un capital 煤nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
5.1.3. Determinaci贸n del vencimiento medio
Es el momento de tiempo t en que vence un capital 煤nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
C = C1 + C2 + ... + Cn
EJEMPLO 10
Un se帽or tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 a帽os, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 a帽os.
Se pide:
Calcular el importe a pagar en ese momento si la operaci贸n se concierta al 8% de inter茅s compuesto anual.
1.er caso: fecha de estudio en 0:
聽聽聽2.000聽聽聽聽聽聽聽 4.000聽聽聽聽聽聽聽 5.000 聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽C
----------- + ---------- + ----------- = ---------
聽聽聽1,086聽聽聽聽聽聽聽 1,088聽聽聽聽聽聽 1,0810 聽聽聽聽聽聽聽1,089
resultando:
C = 11.469,05 鈧
2.潞 caso: fecha de estudio en 9:
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽5.000
2.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽1,08
resultando:
C = 11.469,05 鈧
EJEMPLO 11
Un se帽or tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 a帽os, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno s贸lo, acord谩ndose la operaci贸n a un tipo de inter茅s del 6%, calcular el momento del cobro 煤nico en los siguientes supuestos:
1.潞 La cuant铆a a recibir fuera de 12.000 euros.
2.潞 La cuant铆a a recibir fuera de 13.000 euros.
1.er caso: vencimiento com煤n
聽聽聽5.000 聽聽聽聽聽聽聽聽8.000 聽聽聽聽聽聽12.000
----------- + ----------- = -----------
聽聽聽1,063聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽1,065聽聽聽聽聽聽聽聽聽1,06t
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽12.000
4.198,10 + 5.978,07 = ----------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽1,06t
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽12.000
10.176,17 = -----------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 1,06t
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽12.000
1,06t = ----------------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽10.176,17
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽12.000
聽聽聽聽聽聽聽log ----------------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽10.176,17 聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽0,071597
t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 a帽os
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽log 1,06 聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 0,025306
2.潞 caso: vencimiento medio
聽聽5.000聽聽聽聽聽聽 8.000 聽聽聽聽聽聽13.000
---------- + --------- = ------------
聽聽聽1,063 聽聽聽聽聽1,065聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 1,06t
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 13.000
10.176,17 = -----------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 1,06t
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽13.000
聽聽聽聽聽聽聽log ----------------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽10.176,17 聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 0,106359
t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 a帽os
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽log 1,06 聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽 0,025306
Nota. En compuesta no se puede aplicar la f贸rmula vista en r茅gimen de simple para el c谩lculo del vencimiento medio:
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn
t = vencimiento medio = --------------------------------------------
聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽C1 + C2 + ... + Cn
