Los títulos amortizados transcurrido un período de tiempo cualquiera desde la emisión se pueden obtener de dos formas posibles:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:

m_k  =  N₁  –  N_k+1

• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:

m_k  =  M₁  +  M₂  +  …  +  M_k

Además, todos los títulos amortizados, siguiendo la ley de recurrencia que siguen, se pueden poner en función del primero de ellos:

Simplificando la expresión:

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k términos al tipo i, así pues:

m_k  =  M₁  x  ä_ki

6.1.5.  Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N_k+1)

Podemos plantear este cálculo de varias formas:

6.1.5.1.  1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.

N_k+1  =  N₁  –  [M₁  +  M₂  +  ...  +  M_k]  =  N₁  –  m_k  =  N₁  –  M₁  x  ä_ki

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

N_k+1  =  M_k+1  +  M_k+2  +  …  +  M_n  =  M_k+1  x  ä_n–ki

6.1.5.2.  2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

en k se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [lo recibido  –  lo pagado]_k

en k:

c  x  (1  +  i)^k  x  N_k+1  =  c  x  N₁  x  (1  +  i)^k  –  a  x  s_ki 

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

• Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

en k se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [cantidades pendientes de pagar]_k

en k:  c  x  (1  +  i)^k  x  N_k+1  =  a  x  a_n–ki

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

6.1.6.  Cálculo del importe a pagar de cupones en un período

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir del importe total del término amortizativo, una vez deducida la cuantía destinada a la amortización de los ­títulos.

.:: Ejemplo 16::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 10.000. • Nominal del título: 1.000 euros. • No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 12%. • Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal. • Duración: 3 años. • Anualidades constantes. Se pide: • Anualidad del empréstito. • Cuadro de amortización. Solución: La anualidad constante pagada por el emisor se destina a pagar el nominal junto con el cupón acumulado (en régimen de compuesta) a los títulos que resulten amortizados en cada sorteo. Se trata, pues, de un empréstito puro. La estructura de la anualidad es: Gráficamente: Planteando en el origen la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades pagadas: c  x  N1  =  a  x  ani 1.000  x  10.000  =  a  x  a30,12 a  =  4.163.489,80 Cuadro de amortización k (1) (2) (3) (4) = (2) x 1.000 x 1,12k (5) = (4) Año Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort Amortización Término amortizativo 1 2 3 10.000 6.283 2.964 3.717 3.319 2.964 3.717 7.036 10.000 4.163.040,0 4.163.353,6 4.164.206,6 4.163.040,0 4.163.353,6 4.164.206,6 Cálculo de títulos amortizados Al destinarse la anualidad exclusivamente al pago del cupón acumulado y la amortización por el nominal a los títulos amortizados, el valor de reembolso (amortización) coincide con el importe del término amortizativo del empréstito.