Son empréstitos con intereses prepagables, mediante términos amortizativos variables a₁    a₂    …   a_n , siendo el tipo de interés i* del cupón constante para todos los períodos.

La estructura del término amortizativo será la siguiente:

Empréstitos que responden a esta estructura genérica serán los siguientes:

a) Aquellos empréstitos en los que el número de títulos amortizados en cada sorteo permanezca constante.

b) Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión geométrica, de razón conocida.

c) Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión aritmética, de razón conocida.

5.4.  EMPRÉSTITO DE CUPÓN PERIÓDICO CONSTANTE PREPAGABLE CON IGUAL NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS EN CADA SORTEO

En este tipo de empréstito, al igual que ocurría cuando el cupón se pagaba por vencido, el emisor se compromete a amortizar todos los períodos el mismo número de títulos, por tanto, la cantidad destinada al reembolso se mantiene constante durante toda la operación.

5.4.1.  Pasos a seguir

Para el caso de un empréstito de N₁ títulos, de nominal c, cupón periódico prepagable c  x  i*, con una duración de n períodos se calculará en primer lugar todo lo que tenga que ver con la amortización de títulos, fáciles de obtener, y a continuación lo referente a los cupones y, finalmente, los términos amortizativos.

La forma de cálculo de los títulos (amortizados, total amortizados y en circulación) es igual a la explicada cuando el cupón se pagaba por vencido.

5.4.1.1.  Cálculo del número de títulos amortizados en cada sorteo (M)

Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulos emitidos, se debe cumplir:

N₁  =  M₁  +  M₂  +  M₃  +  ...  +  M_n  =  M  x  n

de donde se obtiene:

Donde n representa el número de sorteos realizados a lo largo de la vida del ­empréstito.

5.4.1.2.  Cálculo del total de títulos amortizados después de k períodos (m_k)

Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de la circulación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulos amortizados correspondiente a los períodos transcurridos.

m_k  =  M₁  +  M₂  +  …  +  M_k  =  M  x  k

5.4.1.3.  Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (N_k+1)

Se realizará a través de los títulos amortizados (pasados o futuros).

• Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en los ya amortizados hasta ese momento.

N_k+1  =  N₁  –  m_k =  N₁  –  M  x  k

• Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aún quedan pendientes de ser amortizados.

N_k+1  =  (n  –  k)  x  M

5.4.1.4.  Cálculo del pago de cupones en el momento k

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c  x  i*) al principio del período al que se refieran.

En el momento k: c  x  i*  x  N_k+1

5.4.1.5.  Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (a_k)

Al mantenerse constante la parte del término amortizativo que se destina al reembolso de títulos e ir disminuyendo la cantidad destinada a pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tiene derecho a cobrarlo), los términos amortizativos necesariamente tendrán que ir decreciendo. Además, los términos variarán como lo hacen las cantidades destinadas al pago de cupones y seguirán una ley matemática.

La estructura del término amortizativo quedará de la siguiente forma:

El cálculo de los diferentes términos se podrá realizar de dos formas posibles:

A)  1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación y añadiendo el valor de reembolso constante ya conocido:

Momento 0: a₀ = c x i x N₁

Momento 1: a₁ = c x i x N₂ + c x M = c x i x (N₁ – M) + c x M

Momento 2: a₂ = c x i x N₃ + c x M = c x i x (N₂ – M) + c x M

…

B)  2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos

Se calcula el primer término y el resto se obtienen a través de la ley de recurrencia que siguen  y que se obtendrá al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera:

simplificando:

a_k  –  a_k+1  =  c   x   i*   x   (N_k+1  –  N_k+2)

siendo:

N_k+1  –  N_k+2  =  M

se puede deducir:

a_k+1  =  a_k  –  c  x  i*  x  M

lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón  – (c  x  i*  x  M), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base a esa recurrencia:

a_k+1  =  a₁  –  k  x  c  x  i*  x  M

Si hay características comerciales, éstas sólo afectarían al cálculo de los términos amortizativos y, en consecuencia, a la ley de recurrencia que siguen. No se normaliza.