Se caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación (clase I), término amortizativo variable (en progresión geométrica, en progresión aritmética o de acuerdo con otra ley conocida) y cupón variable (tipo III), durante toda la operación.

La estructura del término amortizativo puro será la siguiente:

 

 

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N₁ títulos, de nominal c, cupón periódico c x i_k, con una duración de n períodos y términos amortizativos variables (a_k), es el siguiente:

 

 

4.1. PASOS A SEGUIR

4.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (a_k)

Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la actualización de los términos amortizativos a los tipos de interés vigentes en cada período.

 

 

dejando todos los términos (a₁, a₂, …, a_n) en función de uno sólo (lo habitual será a₁), queda una ecuación con una única incógnita que se despejará. A partir de la anualidad calculada se podrán conocer las demás.

4.1.2. Cálculo de títulos amortizados (M_k)

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:

                                                                         a₁ – c x i₁ x N₁
Período 1: a₁ = c x i₁ x N₁ + c x M₁ --> M₁ = ----------------------
                                                                                    c
                                                                         a₂ – c x i₂ x (N₁ – M₁)
Período 2: a₂ = c x i₂ x N₂ + c x M₂ --> M₂ = ------------------------------
                                                                                         c

Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo.

4.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (m_k)

Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dos formas posibles:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
  
  m_k = N₁ – N_k+1
  
• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:
  
  m_k = M₁ + M₂ + … + M_k

4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principios de cada período (N_k+1)

Podemos plantear este cálculo de varias formas:

4.1.4.1. 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.
  
  N_k+1 = N₁ – [M₁ + M₂ + … + M_k] = N₁ – m_k
  
• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.
  
  N_k+1 = M_k+1 + M_k+2 + … + M_n

4.1.4.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos futuros (método prospectivo)

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

 

 

se ha de cumplir la equivalencia en k entre lo que supone amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final.

                      a_k+1                        a_k+2                                                  a_n
c x N_k+1 = ------------- + ----------------------------- + … + ----------------------------------------------
                  (1 + i_k+1)       (1 + i_k+1) x (1 + i_k+2)              (1 + i_k+1) x (1 + i_k+2) x … x (1 + i_n)

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado para ese período.

Período k+1: c x i_k+1 x N_k+1

Nota: si el empréstito presentara características comerciales, habría que normalizar y trabajar con las anualidades y tantos normalizados.