Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:

m_k  =  N₁  –  N_k+1

• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:

m_k  =  M₁  +  M₂  +  …  +  M_k

5.1.1.4.  Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N_k+1)

En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:

c  x  N_k+1  =  c  x  N_k+1  x  i*  +  a  x  (1  –  i*)  +  a  x  (1  –  i*)²  +  …  +  a  x  (1  –  i*)^n–k

pasando c  x  N_k+1  x  i* al primer miembro y sacando factor común a  x  (1  –  i*):

c  x  N_k+1  (1  –  i*)  =  a  x  (1  –  i*)  x  [1  +  (1  –  i*)  +  (1  –  i*)²  …  +  (1  –  i*)^n–k–1]

dividiendo por  1  –  i*:

En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (N_k+1).

Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otra en k).

5.1.1.5.  Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k

Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c  x  i*), pero el cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios del período k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1.

En el momento k: c  x  i*  x  N_k+1

.:: Ejemplo 14::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 20.000. • Nominal título: 1.000 euros. • Cupón anual prepagable: 100 euros. • Duración: 3 años. • Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal. • Anualidad constante. Se pide: • Anualidad del empréstito. • Cuadro de amortización. Solución: Cálculo de la anualidad Anualidad constante, destinada al pago de un cupón prepagable constante a los títulos en circulación y a amortizar por el nominal a aquellos que corresponda. La estructura de la anualidad es: Planteando en el origen la equivalencia: Cuadro de amortización   (1) (2) (3) (4) = (1) x 100 (5) = 2 x 1.000 (6) = (4) + (5) Años Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Intereses Amortización Término amortizativo 0 1 2 3 20.000 14.022 7.380   – 5.978 6.642 7.380 – 5.978 12.620 20.000 2.000.000 1.402.200 738.000   – 5.978.000 6.642.000 7.380.000 2.000.000 7.380.200 7.380.000 7.380.000 (2) Cálculo de los títulos amortizados (4) En 0 se paga el cupón a los títulos en circulación durante el año 1, en 1 se les paga a los títulos en circulación durante el año 2 y en 2 se pagará el cupón a los títulos en circulación durante el año 3.