5.1.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk)
Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto
se puede hacer de dos formas:
Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los
que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:
mk = M1 + M2 + … + Mk
5.1.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1)
En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre
el nominal del empréstito en ese momento y el valor actualizado de los
pagos pendientes (incluido el pago del cupón situado en el momento de estudio
que corresponde al primer período pendiente):
planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:
c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 + … + a x (1 – i*)n–k
pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro
y sacando factor común a x (1 – i*):
c x Nk+1 (1 – i*) = a x (1 – i*) x [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n–k–1]
dividiendo por 1 – i*:
En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en
progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda
la siguiente expresión:
De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1).
Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida
en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde están
planteadas (una en 0 y otra en k).
5.1.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k
Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los
títulos en circulación a principios de ese período, a los
que se les entregará el cupón acordado (c x i*),
pero el cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por
tanto en k, principios del período k+1, se pagará el cupón
correspondiente al período k+1.
En el momento k: c x i* x Nk+1
| .:: Ejemplo 14::.
Se emite el siguiente empréstito:
Títulos emitidos: 20.000.
Nominal título: 1.000 euros.
Cupón anual prepagable: 100 euros.
Duración: 3 años.
Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal.
Anualidad constante.
Se pide:
Anualidad del empréstito.
Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad
Anualidad constante, destinada al pago de un cupón prepagable constante a los títulos en circulación y a amortizar por el nominal a aquellos que corresponda. La estructura de la anualidad es:
Planteando en el origen la equivalencia:
Cuadro de amortización
| |
(1) |
(2) |
(3) |
(4) = (1) x 100 |
(5) = 2 x 1.000 |
(6) = (4) + (5) |
| Años |
Títulos
vivos |
Títulos
amortiz. |
Total
tít. amort. |
Intereses |
Amortización
|
Término
amortizativo |
|
0
1
2
3
|
20.000
14.022
7.380
|
–
5.978
6.642
7.380
|
–
5.978
12.620
20.000
|
2.000.000
1.402.200
738.000
|
–
5.978.000
6.642.000
7.380.000
|
2.000.000
7.380.200
7.380.000
7.380.000
|
(2) Cálculo de los títulos amortizados
(4) En 0 se paga el cupón a los títulos en circulación durante el año 1, en 1 se les paga a los títulos en circulación durante el año 2 y en 2 se pagará el cupón a los títulos en circulación durante el año 3.
|
|