El esquema de flujos de caja en un empréstito a amortizar en n períodos, a un tanto de interés i* es el siguiente:

La estructura genérica del término amortizativo (anualidad) en este empréstito será la siguiente:

es decir, cada pago realizado incluye los cupones del período que empieza y el valor de reembolso correspondiente al período que acaba, con independencia del importe total del término amortizativo, que podrá ser constante o variable.

5.1.  EMPRÉSTITO DE CUPÓN PERIÓDICO CONSTANTE PREPAGABLE CON ANUALIDAD CONSTANTE Y PURO

Son empréstitos con intereses prepagables, con términos amortizativos constantes a₁  =  a₂  =  …  =  a_n  =  a, siendo el tipo de interés i* del cupón constante para ­to­dos los períodos.

Además de los n términos amortizativos constantes, habrá que considerar un primer término adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer ­período.

Este empréstito considerado globalmente es un préstamo alemán.

El esquema de la operación para un empréstito de N₁ títulos emitidos, de nominal c y una duración de n períodos (años) es:

La estructura del término amortizativo será:

5.1.1.  Pasos a seguir

5.1.1.1.  Cálculo del término amortizativo (a)

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final:

c  x  N₁  =  c  x  N₁  x  i*  +  a  x  (1  –  i*)  +  a  x  (1  –  i*)²  +  ...  +  a  x  (1 –  i*)ⁿ

Simplificando en ambos miembros, pasando c  x  N₁  x  i* al primer miembro y sacando factor común a (1  –  i*):

c  x  N₁  –  c  x  N₁  x  i*  =  a  x  (1  –  i*)  [1  +  (1  –  i*)  +  (1  –  i*)²  …  +  (1  –  i*)^n–1]

dividiendo por  1  –  i*:

En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos en progresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente expresión:

siendo a₁ el primer término de la suma, a_n el último de los términos y r la razón de la progresión.

Aplicando a este caso, se obtiene:

De donde se obtendrá el importe del término amortizativo (a).

5.1.1.2.  Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (M_k)

Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas:

A)  1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar, determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada sorteo.

Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así:

Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados en cada ­sorteo.

B)  2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados

La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así:

siendo N_k+1  –  N_k+2  =  M_k+1, queda:

0  =  c  x  i*  x  M_k+1  +  c  x  M_k  –  c  x  M_k+1

dividiendo la expresión por c:

0  =  i*  x  M_k+1  +  M_k  –  M_k+1

de donde se obtiene:

M_k  =  M_k+1  x  (1  –  i*)

Por tanto, los títulos amortizados siguen una progresión geométrica de razón 1  –  i*, es decir, cualquier M_k se puede calcular a partir del anterior, del último o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del último –que es el más fácil de obtener–:

M_k  =  M_n  x  (1  –  i*)^n–k