Se caracteriza porque los cupones se pagan anticipadamente, al principio del período correspondiente, a tipo de interés prepagable (i*), mientras que la amortización de títulos se sigue realizando al final del período correspondiente.
El esquema de flujos de caja en un empréstito a amortizar en n períodos,
a un tanto de interés i* es el siguiente:
La estructura genérica del término amortizativo (anualidad) en
este empréstito será la siguiente:
es decir, cada pago realizado incluye los cupones del período que empieza
y el valor de reembolso correspondiente al período que acaba, con independencia
del importe total del término amortizativo, que podrá ser constante
o variable.
5.1. EMPRÉSTITO DE CUPÓN PERIÓDICO CONSTANTE PREPAGABLE CON ANUALIDAD CONSTANTE Y PURO
Son empréstitos con intereses prepagables, con términos amortizativos
constantes a1 = a2 = … =
an = a, siendo el tipo de interés
i* del cupón constante para todos los períodos.
Además de los n términos amortizativos constantes, habrá
que considerar un primer término adicional, en el origen, que recoja los
intereses prepagables del primer período.
Este empréstito considerado globalmente es un préstamo alemán.
El esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos
emitidos, de nominal c y una duración de n períodos (años)
es:
La estructura del término amortizativo será:
5.1.1. Pasos a seguir
5.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)
En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el
emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de
los pagos que realizará hasta el final:
c x N1 = c x N1
x i* + a x (1 – i*)
+ a x (1 – i*)2
+ ... + a x (1 – i*)n
Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x
i* al primer miembro y sacando factor común a (1 – i*):
c x N1 – c x N1
x i* = a x (1 – i*)
[1 + (1 – i*) + (1 –
i*)2 … + (1 – i*)n–1]
dividiendo por 1 – i*:
En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos
en progresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente
expresión:
siendo a1 el primer término de la suma, an el
último de los términos y r la razón de la progresión.
Aplicando a este caso, se obtiene:
De donde se obtendrá el importe del término amortizativo (a).
5.1.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk)
Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo
se puede proceder de dos formas alternativas:
A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término
amortizativo
Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo)
y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto
queda para amortizar, determinándose así el número de títulos
que podrán retirarse de la circulación en cada sorteo.
Para ello se comenzará por el último período, ya que el
término amortizativo, al no tener que pagarse cupón, se destina
íntegramente a amortizar, así:
Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados
en cada sorteo.
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período
se obtendrá por diferencias de dos términos amortizativos consecutivos
cualesquiera, así:
siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1,
queda:
0 = c x i* x Mk+1
+ c x Mk –
c x Mk+1
dividiendo la expresión por c:
0 = i* x Mk+1 + Mk
– Mk+1
de donde se obtiene:
Mk = Mk+1 x (1 –
i*)
Por tanto, los títulos amortizados siguen una progresión geométrica
de razón 1 – i*, es decir, cualquier Mk se
puede calcular a partir del anterior, del último o de cualquiera conocido.
Con carácter genérico, se pondrán en función del último
–que es el más fácil de obtener–:
Mk = Mn x (1 –
i*)n–k