Podemos plantear este cálculo de varias formas:

A)  1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.

N_k+1  =  N₁  –  [M₁  +  M₂  +  …  +  M_k]  =  N₁  –  m_k

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

N_k+1  =  M_k+1  +  M_k+2  +  …  +  M_n

B)  2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

en K se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [lo recibido  –  lo pagado]_k

en K:  c  x  (1  +  i)^k  x  N_k+1  =  c  x  N₁  x  (1  +  i)^k  –  S_{(a1; q) ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

• Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

en K se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [cantidades pendientes de pagar]_k

en K:  c  x  (1  +  i)^k  N_k+1  =  A_{(ak+1;  q)n–ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

.:: Ejemplo 19::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 10.000. • Nominal del título: 1.000 euros. • Duración: 5 años. • No abono de cupones anuales, acumulándose a los sorteos, en régimen de compuesta, al 10% anual. • Anualidades variables en progresión geométrica de razón 1,10. Se pide: Cuadro de amortización. Solución: Es un empréstito de cupón acumulado en compuesta que se les paga a los títulos amortizados en cada sorteo, siendo la anualidad pagada por el emisor variable en progresión geométrica de razón 1,10. La estructura del término amortizativo es: Gráficamente: Planteando la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades pagadas, calcularemos la primera de ellas (a1): y a partir de la primera, las demás se obtendrán a partir de la ley geométrica que siguen. Cuadro de amortización   (1) (2) (3) (4) = (2) x 1.000 x 1,10k (5) = (4) Años Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Amortización Término amortizativo 1 2 3 4 5 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 2.200.000 2.420.000 2.662.000 2.928.200 3.221.020 2.200.000 2.420.000 2.662.000 2.928.200 3.221.020 (1) Cálculo de los títulos amortizados Para conocer el número de títulos a amortizar en cada período, basta con darle valores a la anualidad, según el período que queramos calcular, siendo todo conocido salvo el Mk buscado: Año 1: a1  =  c  x  (1  +  i)1  x  M1 2.200.000  =  1.000  x  1,10  x  M1 M1  =  2.000   Año 2: a2  =  c  x  (1  +  i)2  x  M2 2.420.000  =  1.000  x  1,102  x  M2 M2  =  2.000   Año 3: a3  =  c  x  (1  +  i)3  x  M3 2.662.000  =  1.000  x  1,103  x  M3 M3  =  2.000   Año 4: a4  =  c  x  (1  +  i)4  x  M4 2.928.000  =  1.000  x  1,104  x  M4 M4  =  2.000   Año 5: a5  =  c  x  (1  +  i)5  x  M5 3.221.020  =  1.000  x  1,105  x  M5 M5  =  2.000 La razón de que haya resultado un empréstito con igual número de títulos amortizados en cada sorteo se debe a que la razón de la progresión que siguen las anualidades coincide con 1 + i (el tanto del cupón), de forma que el aumento del término coincide con el aumento del cupón acumulado, por lo que el número de títulos a amortizar permanece constante todos los sorteos.