Podemos plantear este cálculo de varias formas:

A)  1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.

N_k+1  =  N₁  –  [M₁  +  M₂  +  …  +  M_k]  =  N₁  –  m_k

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

N_k+1  =  M_k+1  +  M_k+2  +  …  +  M_n

B)  2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberá hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

en K:

Lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [lo recibido – lo pagado]_k  

en K:  c  x  N_k+1  =  c  x  N₁  x  (1  +  i)^k  –  S_{(a1; d) ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

• Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

en K:

lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  cantidades pendientes de pagar]_k

en K:  c  x  N_k+1  =  A_{(ak+1; d) n – ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1:

3.4.1.5.  Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c  x  i).

Período k+1: c  x  i  x  N_k+1

.:: Ejemplo 9::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 50.000. • Nominal título: 1.000 euros. • Cupón anual: 130 euros. • Sorteos anuales y amortización por el nominal. • Duración: 4 años. • Anualidades aumentando: 300.000 euros/año. Se pide: Construir el cuadro de amortización. Solución: Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión aritmética de razón 300.000 euros. Por tanto, la estructura del término amortizativo será: Gráficamente: Cálculo de las anualidades Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valor actualizado de los términos que lo amortizan  y se despeja el primer término amortizativo. Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de éstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo. a1  =  16.405.348,62 a2  =  a1  +  300.000  =  16.705.348,62 a3  =  a2  +  300.000  =  17.005.348,62 a4  =  a3  +  300.000  =  17.305.348,62   (1) (2) (3) (4)= (1) x 130 (5) = (2) x 1.000 (6)= (4) + (5) Años Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Intereses Amortización Término amortizativo 1 2 3 4 50.000 40.095 28.602 15.315 9.905 11.493 13.287 15.315 9.905 21.398 34.685 50.000 6.500.000 5.212.350 3.718.260 1.990.950 9.905.000 11.493.000 13.287.000 15.315.000 16.405.000 16.705.350 17.005.260 17.305.950 (1) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo se darán valores a la anualidad, empezando por la primera: Año 1: a1  =  c  x  i  x  N1  +  c  x  M1 16.405.348,62  =  130  x  50.000  +  1.000  x  M1 M1  =  9.905,35 Año 2: a2  =  c  x  i  x  N2  +  c  x  M2 16.705.348,62  =  130  x  (50.000  –  9.905,35)  +  1.000  x  M2 M2  =  11.493,04   Año 3: a3  =  c  x  i  x  N3  +  c  x  M3 17.005.348,62  =  130  x  (50.000  –  9.905,35  –  11.493,04)  +  1.000  x  M3 M3  =  13.287,14   Año 4: a4  =  c  x  i  x  N4  +  c  x  M4 17.305.348,62  =  130  x  (50.000  –  9.905,35  –  11.493,04  –  13.287,14)  +  1.000  x  M4 M4  =  15.314,47 También se podría haber empleado la ley de recurrencia para calcular los Mk, una vez calculado M1: Año 1: a1  =  c  x  i  x  N1  +  c  x  M1 16.405.348,62  =  130  x  50.000  +  1.000  x  M1