Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:

m_k  =  N₁  –  N_k+1

• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:

m_k  =  M₁  +  M₂  +  …  +  M_k

3.2.1.4.  Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N_k+1)

Podemos plantear este cálculo de varias formas:

A)  1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados:

N_{k +1}  =  N₁  –  [M₁  +  M₂  +  …  +  M_k]  =  N₁  –  m_k

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar:

N_k+1  =  M_k+1  +  M_k+2  +  …  +  M_n

B)  2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y valor de reembolso; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al emisor amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que aún debe (la diferencia entre lo que el emisor recibió en la emisión y lo que hasta la fecha ya ha pagado):

en K:

Lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [lo recibido – lo pagado]_k  

es decir:

en K:  c  x  N_k+1  =  c  x  N₁  x  (1  +  i)^k  –  S_{(a1; q) ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

• Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final:

en K:

Lo que se supondría la amortización anticipada en k  =  [cantidades pendientes de pagar]_k  

es decir:

en K:  c  x  N_k+1  =  A_{(ak+1; q) n–ki}

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

3.2.1.5.  Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i).

Período k+1: c  x  i  x  N_k+1

.:: Ejemplo 7 ::. Se emite el siguiente empréstito: • Títulos emitidos: 10.000. • Nominal título: 1.000 euros. • Interés anual: 12%. • Duración: 5 años. • Anualidades aumentando un 12% anual de manera acumulativa. Se pide: • Anualidades del empréstito. • Cuadro de amortización. Solución: Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,12. Por tanto, la estructura del término amortizativo será: Cálculo de las anualidades Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valor actualizado de los términos que lo amortizan. Gráficamente: Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de éstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo. a1  =  2.240.000,00 a2  =  a1  x  1,12  =  2.508.800,00 a3  =  a2  x  1,12  =  2.809.856,00 a4  =  a3  x  1,12  =  3.147.038,72 a5  =  a4  x  1,12  =  3.524.683,37 Cálculo del cuadro de amortización   (1) (2) (3) (4)= (1) x 120 (5) = (2) x 1.000 (6)= (4) + (5) Años Títulos vivos Títulos amortiz. Total tít. amort. Intereses Amortización Término amortizativo 1 2 3 4 5 10.000 8.960 7.527 5.620 3.147 1.040 1.433 1.907 2.473 3.147 1.040 2.473 4.380 6.853 10.000 1.200.000 1.075.200 903.240 674.400 377.640 1.040.000 1.433.000 1.907.000 2.473.000 3.147.000 2.240.000 2.508.200 2.810.240 3.147.400 3.524.640 (2) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo le iremos dando valores a la anualidad, empezando por la primera: Año 1: a1  =  c  x  i  x  N1  +  c  x  M1 2.240.000  =  120  x  10.000  +  1.000  x  M1 M1  =  1.040   Año 2: a2  =  c  x  i  x  N2  +  c  x  M2 2.508.800  =  120  x  (10.000  –  1.040)  +  1.000  x  M2 M2  =  1.433,60   Año 3: a3  =  c  x  i  x  N3  +  c  x  M3 2.809.856  =  120  x  (10.000  –  1.040  –  1.433,60)  +  1.000  x  M3 M3 =  1.906,69   Año 4: a4  =  c  x  i  x  N4  +  c  x  M4 3.147.038,72  =  120  x  (10.000  –  1.040  –  1.433,60  –  1.906,69)  +  1.000  x  M4 M4  =  2.472,67   Año 5: a5  =  c  x  i  x  N5  +  c  x  M5 3.524.683,37  =  120  x  (10.000  –  1.040  –  1.433,60  –  1.906,69  –  2.472,67)  +  1.000  x  M5 M5  =  3.147,04