También conocido como empréstito normal, se caracteriza por ser de cupón periódico (clase I), término amortizativo pagadero por el emisor y cupón constantes (tipo I), y no presentar ninguna otra característica especial. Por tanto, el pago del emisor se destina a retribuir con un cupón periódico constante a los títulos en circulación (c x i x Nk) y a amortizar por el nominal los títulos que corresponda (c x Mk).
La estructura del término amortizativo (en adelante anualidad) será
la siguiente:
Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor
un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón
periódico c x i, con una duración de n períodos
y términos amortizativos constantes (a), es el siguiente:
Donde c x N1 representa el importe nominal del empréstito, n el número de pagos (términos amortizativos) en los que se amortiza, i el tipo de interés del cupón y a es el importe del término amortizativo constante.
Este empréstito, considerado globalmente, es un préstamo francés.
2.1. PASOS A SEGUIR
Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro
de amortización del empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar
en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota
de amortización (c x Mk) y cuota de interés
(c x i x Nk).
2.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)
Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan,
en parte el coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devolución
de una porción de la deuda (amortización de títulos). Para
calcular el término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia
financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito y la renta formada
por los términos amortizativos:
resultando:
c x N1 = a x an
i
de donde se despeja el término a:
Es lo que se denomina el término amortizativo teórico (a diferencia
de los que aparecen en el cuadro que se les conoce como términos amortizativos
prácticos o reales).
2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk)
Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo
la parte del mismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor
el número de títulos en circulación que tienen derecho a
cobrarlo), el valor destinado a reembolsar títulos necesariamente tendrá
que ir creciendo y, por tanto, el número de títulos amortizados
en cada sorteo.
Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos
que en cada sorteo resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas
alternativas:
2.1.2.1. 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período
y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina
a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán
en cada momento. Así:
Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos
el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo. A pesar de
la simplicidad del cálculo, resulta poco práctico, sobre todo cuando
el número de sorteos es elevado. Conviene, pues, buscar un procedimiento
que permita establecer, si es posible, alguna relación (ley de recurrencia)
a la hora de calcular los Mk.
2.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
Como antes se ha comentado, al ser constante el término amortizativo y
las cantidades destinadas al pago de cupones decrecientes, las cuantías
destinadas a amortización necesariamente tendrán que ir creciendo.
Además, varían siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia).
La ley de recurrencia es la relación que existe entre dos términos consecutivos, en este caso, las cantidades destinadas a amortizar títulos. Para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:
Siendo: Nk – Nk+1 = Mk
0 = c x i x Mk +
c x Mk – c x
Mk+1
dividiendo toda la expresión por c:
0 = i x Mk + Mk
– Mk+1
de donde se obtiene:
Mk+1 = Mk x (1 +
i)
Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa
que varían siguiendo una progresión geométrica de razón
1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede calcular a
partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con carácter
genérico, se pondrán en función del primero –que es
el más fácil de obtener–:
Mk+1 = M1 x (1 +
i)k