La estructura del término amortizativo (en adelante anualidad) será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N₁ títulos, de nominal c, cupón periódico c  x  i, con una duración de n períodos y términos amortizativos constantes (a), es el siguiente:

Donde c  x  N₁ representa el importe nominal del empréstito, n el número de pagos (términos amortizativos) en los que se amortiza, i el tipo de interés del cupón y a es el importe del término amortizativo constante.

Este empréstito, considerado globalmente, es un préstamo francés.

2.1.  PASOS A SEGUIR

Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (c  x  M_k) y cuota de interés (c  x  i  x  N_k).

2.1.1.  Cálculo del término amortizativo (a)

Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan, en parte el coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devolución de una porción de la deuda (amortización de títulos). Para calcular el término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito y la renta formada por los términos amortizativos:

resultando:

c  x  N₁  =  a  x  a_ni

de donde se despeja el término a:

Es lo que se denomina el término amortizativo teórico (a diferencia de los que aparecen en el cuadro que se les conoce como términos amortizativos prácticos o reales).

2.1.2.  Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (M_k)

Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte del mismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tienen derecho a cobrarlo), el valor destinado a reembolsar títulos necesariamente tendrá que ir creciendo y, por tanto, el número de títulos amortizados en cada sorteo.

Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas ­alternativas:

2.1.2.1.  1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término ­amortizativo

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:

Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálcu­lo de títulos amortizados en cada sorteo. A pesar de la simplicidad del cálculo, resulta poco práctico, sobre todo cuando el número de sorteos es elevado. Conviene, pues, buscar un procedimiento que permita establecer, si es posible, alguna relación (ley de recurrencia) a la hora de calcular los M_k.

2.1.2.2.  2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados

Como antes se ha comentado, al ser constante el término amortizativo y las cantidades destinadas al pago de cupones decrecientes, las cuantías destinadas a amortización necesariamente tendrán que ir creciendo. Además, varían siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia).

La ley de recurrencia es la relación que existe entre dos términos consecutivos, en este caso, las cantidades destinadas a amortizar títulos. Para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Siendo:  N_k  –  N_k+1  =  M_k

0  =  c  x  i  x  M_k  +  c  x  M_k  –  c  x  M_k+1

dividiendo toda la expresión por c:

0  =  i  x  M_k  +  M_k  –  M_k+1

de donde se obtiene:

M_k+1  =  M_k  x  (1  +  i)

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1  +  i, por tanto, cualquier M_k se puede calcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del primero –que es el más fácil de obtener–:

M_k+1  =  M₁  x  (1  +  i)^k