3.4. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en progresión

Este empréstito se caracteriza porque:

• Los términos amortizativos varían en progresión aritmética.
• El tanto de valoración y razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.
• El cupón es constante y se paga periódicamente por vencido a los títulos en circulación.
• La amortización se realiza por el nominal.

Considerado globalmente es un préstamo con términos amortizativos variables en progresión aritmética.

La estructura del término amortizativo en este empréstito puro es:

 

 

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N₁ títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos y términos amortizativos variables en progresión aritmética (a_k), es el siguiente:

 

 

3.4.1. Pasos a seguir

3.4.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (a_k)

Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.

 

 

La variable a calcular será el primer término amortizativo (a₁).

Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán a través de la ley de la progresión aritmética que siguen, así:

a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d
…
a_k+1 = a_k + d = a₁ + k x d
…
a_n = a_n-1 + d = a₁ + (n – 1) x d

3.4.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (M_k)

Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas:

A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemos calculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:

Período 1:	a1 = c x i x N1 + c x M1 c x M1 = a1 – c x i x N1           a1 – c x i x N1 M1 = ---------------------                    c
Período 2:	a2 = c x i x N2 + c x M2 c x M2 = a2 – c x i x (N1 – M1)           a2 – c x i x (N1 – M1) M2 = ----------------------------                        c
…

 

 

 

 

 

 

 

 

Procediendo de la misma forma, completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo.

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

 

Período k:	ak = c x i x Nk + c x Mk
Período k+1:	ak+1 = c x i x Nk+1 + c x Mk+1
	----------------------------------------------------------------
	ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) + c x Mk – c x Mk+1

 

 

 

 

 

 

simplificando ambos miembros, sabiendo que a_k+1 = a_k + d y N_k – N_k+1 = M_k:

– d = c x i x M_k + c x M_k – c x M_k+1

de donde se obtiene:

                                   d
M_k+1 = M_k x (1 + i) + ----
                                   c

Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior los que corresponde amortizar en el presente. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier Mk a partir de M1, la expresión a aplicar será:

 

 

3.4.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (m_k)

Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
  
  m_k = N₁ – N_k+1
  
• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:
  
  m_k = M₁ + M₂ + … + M_k

3.4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N_k+1)

Podemos plantear este cálculo de varias formas:

 

 

A) 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.

  N_k+1 = N₁ – [M₁ + M₂ + … + M_k] = N₁ – m_k

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

  N_k+1 = M_k+1 + M_k+2 + … + M_n

B) 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberá hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

 

 

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

 

 

en K:
Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]_k

 

 

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1.

• Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

en K:

lo que se supondría la amortización anticipada

en k = cantidades pendientes de pagar]_k

 

 

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: N_k+1:

3.4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i).

Período k+1:       c x i x N_k+1