3.3. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión geométrica

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En principio, bastaría con normalizar el empréstito y trabajar con los términos amortizativos normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con los anteriores empréstitos. No obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de la normalización, los términos amortizativos normalizados no sigan una progresión geométrica o que cambie la razón de la progresión.

Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma, aunque puede ocurrir que las características que existan no afecten a la progresión y en consecuencia baste con normalizar y emplear las anualidades normalizadas y el tanto normalizado sin más en las fórmulas del empréstito puro:

  1. Construir la estructura del término amortizativo (ak), recogiendo todas las características que le afecten.
  2. Normalizar, obteniendo el término normalizado (a'k) y el tanto normalizado (i').
  3. Como el término normalizado puede que no siga ningún tipo de ley, evitaremos trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará la equivalencia financiera entre el nominal del empréstito y los términos normalizados actualizados al tanto normalizado.
  4. Se sustituirá en el sumatorio el término amortizativo normalizado (a'k), por su valor.
  5. Lo que multiplique o divida al ak, al ser constante, se podrá extraer del sumatorio.
  6. Si hubiera algún término que se sumara o restara al ak (lotes), el sumatorio se descompondrá en dos sumatorios.
  7. Los sumatorios se convertirán en valores actuales de rentas (constantes o variables).
  8. Se despejará el primer término amortizativo (a1).

 

EJEMPLO 8

Se emite el siguiente empréstito:

  • Títulos emitidos: 100.000.
  • Nominal título: 1.000 euros.
  • Interés anual: 12%.
  • Duración: 10 años.
  • Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 400 euros.
  • Premio de 800 euros para cada uno de los 50 primeros títulos amortizados cada año.
  • Anualidades comerciales variables en progresión geométrica de razón 1,10.

Se pide:

  • Anualidad del sexto año.
  • Títulos amortizados en el segundo año.

Solución:

Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,10, con prima de amortización constante y un lote anual de 40.000 euros (800 x 50). Sabido todo esto, los pasos a seguir son:

  1. Estructura de la anualidad teórica



  2. Normalización

    ak – L = c x i x Nk + (c + p) x Mk
      ak – L                 i
    ---------- = c x --------- x Nk + Mk
      c + p              c + p
           ak – L              c x i
    c x ---------- = c x ---------- x Nk + c x Mk
            c + p              c + p

    Siendo:

                   ak – L
    a' = c x ------------
                   c + p
             c x i               120
    i' = ---------- = ----------------- = 0,0857143
             c + p       1.000 + 400

    Resulta el empréstito normalizado:

    a'k = c x i' x Nk + c x Mk

    Gráficamente:


  3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios


  4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización


  5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador


  6. Separación del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador


  7. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta


  8. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1


Anualidad del sexto año

a6 = a1 x 1,15 = 23.108.122,05

Títulos amortizados en el segundo año

1.ª posibilidad: empezando desde el principio y calculando todos los títulos amortizados año tras año

Año 1        


a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1 + L
14.348.325,71 = 120 x 100.000 + 1.400 x M1 + 40.000
M1 = 1.648,80
Año 2       





a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2 + L
a1 x 1,1 = c x i x (N1 – M1) + (c + p) x M2 + L
14.348.325,71 x 1,1 = 120 x (100.000 – 1.648,80) + 1.400 x M2 + 40.000
M2 = 2.815,01
M2 = 2.815

 

 

 

 

 

 

 

 

2.ª posibilidad: calculando previamente los títulos vivos del período y despejando de la anualidad los títulos amortizados

 

 

El primer sistema resulta más interesante cuando nos encontramos cerca del origen (como en este ejercicio). Sin embargo, cuando se hayan realizado varios sorteos resultará más rápido el segundo método, pues se evita tener que calcular, uno a uno, todos los sorteos ya efectuados.