El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C₀, amortizable en n períodos, con interés prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q, conocida, es:

 

 

Siendo: a₁; a₂ = a₁ x q; a₃ = a₁ x q²; ...; a_n = a₁ x q^n-1

11.3.1. Pasos a seguir

11.3.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a₁)

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo (i*), de los pagos que realizará durante toda la operación:

C₀ = C₀ x i* + a₁ x (1 - i*) + a₂ x (1 - i*)² + ... + a_n x (1 - i*)ⁿ

puesto que los términos varían en progresión geométrica de razón q:

C₀ = C₀ x i* + a₁ x (1 - i*) + a₁ x q x (1 - i*)² + ... + a₁ x q^n-1 x (1 - i*)ⁿ

donde todo es conocido salvo a₁.

11.3.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k + 1 (C_k)

En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

 

 

Planteando la equivalencia en el momento k:

C_k = C_k x i* + a_k+1 x (1 - i*) + a_k+2 x (1 - i*)² + ... + a_n x (1 - i*)^n-k

Simplificando:

C_k = C_k x i* + a_k+1 x (1 - i*) + a_k+1 x q x (1 - i*)² + ... + a _k+1 x q^n-k-1 x (1 - i*)^n-k
C_k (1 - i*) = a_k+1 x (1 - i*) + a_k+1 x q x (1 - i*)² + ... + a_k+1 x q^n-k-1 x (1 - i*)^n-k
C_k (1 - i*) = a_k+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q² x (1 - i*)² + ... + q^n-k-1 x (1 - i*)^n-k-1]
C_k x (1 - i*) = a_k+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q² x (1 - i*)² + ... + q^n-k-1 x (1 - i*)^n-k-1]

De donde se obtiene la deuda pendiente (C_k).

C_k = a_k+1 x [1 + q (1 - 1*) + q² (1 - i*)² + ... + q^n-k-1 x (1 - i*)^n-k-1]

Siendo el corchete una suma de n–k términos (los que quedan pendientes desde la fecha de estudio hasta el final), que varía en progresión geométrica de razón q x (1 – i*).

11.3.1.3. Cálculo de cuotas de amortización (A_k)

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente

Período n: a_n = A_n
Período n-1: a_n-1 = C_n-1 x i* + A_n-1 = A_n x i* + A_n-1 --> A_n-1
Período n-2: a_n-2 = C_n-2 x i* + A_n-2 = (A_n-1 + A_n) x i* + A_n-2 --> A_n-1

Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a la primera.

11.3.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (m_k)

Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles:

• Por diferencia entre capitales pendientes consecutivos:

  

   

  m_k = C₀ – C_k

• Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

 

 

m_k = A₁ + A₂ + ... + A_k